Николай Игнатьевич Быстров родился в 1922 году в деревне Ступино Борисово-Судского района Вологодской области. В 1929 году родители его переехали в деревню Курганку Марьяновского района Омской области и вступили в колхоз «Память Войкова». Окончил семь классов Марьяновской школы, в 1938 году поступил в Омский педагогический техникум. Одновременно стал учиться в аэроклубе. Увлечение авиацией пересилило. Техникум оставил. 
В марте 1941 года окончил Омскую авиационную школу пилотов и работал инструктором. В Великой Отечественной войне участвовал с осени 1942 года. Воевал на Западном, Брянском, 1-м и 4-м Украинском фронтах. Награжден: орденом Ленина, тремя орденами Красного Знамени, орденом Отечественной войны I степени, двумя орденами Красной Звезды и несколькими медалями.
Указом Президиума Верховного Совета СССР 29 июня 1945 года ему присвоено высокое звание Героя Советского Союза.

В ноябре 1942 года Николай Быстров прибыл в штурмовой авиационный полк. Деловые качества воина в боевой обстановке быстро узнаются. Смело и дерзко шел на выполнение своего первого боевого задания —штурм вражеской техники и живой силы. Вскоре Быстрова, как хорошего организатора и грамотного летчика, направляют командиром звена, а затем заместителем командира авиаэскадрильи. Вылетая на разведку, старший лейтенант Быстров всегда доставлял ценные данные наземному командованию, что помогало в проведении боевых операций.

В августе 1943 года в районе села Знаменского, действуя в составе четверки самолетов ИЛ-2, Быстров был атакован шестью истребителями противника. Его самолет был подбит, но продолжая вести бой, он уничтожил шесть автомашин, 8 повозок и более двадцати гитлеровцев.

Выполнив боевое задание, летчик посадил свой израненный самолет на аэродром.
Готовясь контратаковать наши войска, фашисты в районе села Святой Станислав в мае 1944 года хорошо замаскировали свои танки в лесу. Но усилия неприятеля оказались напрасными. Будучи ведущим шести самолетов ИЛ-2, старший лейтенант Николай Быстров обнаружил замаскированные танки и бомбовым ударом уничтожил 4 вражеских танка, две автомашины, большое количество гитлеровских солдат и офицеров. В районе населенного пункта Щавне, действуя в составе трех самолетов ИЛ-2, был встречен сильным огнем зенитной артиллерии противника. 
Умело маневрируя, показав технику высшего пилотажа, группа Быстрова без повреждений вернулась на срой аэродром, уничтожив 5 автомашин с живой силой противника, и много железнодорожных вагонов.

Свой сотый боевой вылет на штурм переднего края оборонительных рубежей противника старший лейтенант Николай Игнатьевич Быстров совершил 16 октября 1944 года в Карпатах, в районе Нижней Яблуновки.

При подходе к линии фронта, связавшись с наземной рацией советских войск и узнав цель нападения, сделал с группой самолетов шесть заходов, сбросил бомбы, а затем, снизившись, с бреющего полета начал обстреливать вражеские позиции пулеметно-пушечным огнем. Не обращая внимания на сильный зенитно-артиллерийский огонь противника, продолжал штурмовать вражеские укрепления.
Вскоре зенитки противника замолчали.

Группа Быстрова уничтожила три минометных орудия, две автомашины, большое количество солдат и офицеров врага, создала несколько очагов пожара.

Сражаясь против гитлеровских захватчиков, за время пребывания на фронте, Николай Быстров совершил 150 боевых вылетов. Своими боевыми действиями он лично уничтожил и повредил 26 танков, 75 автомашин противника и много живой силы врага.